Теорема о трёх перпендикулярах — КСП, план урока, Математика, 10 класс
Создайте свой план урока с ИИ
Создать бесплатно
Предпросмотр
Открыть материал
Краткосрочный план
| Раздел |
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
|
| Тема урока |
Теорема о трёх перпендикулярах
|
| Класс |
10
|
| Цели обучения в соответствии с учебной программой |
Знать теорему о трёх перпендикулярах и применять её при решении задач.
|
| Цели урока |
Учащийся знает формулировку теоремы о трёх перпендикулярах и её обратной теоремы.
Учащийся понимает связь между наклонной, её проекцией на плоскость и прямой, лежащей в этой плоскости.
Учащийся применяет теорему о трёх перпендикулярах при решении геометрических задач.
|
| Ценности |
Точность и ответственность при построении пространственных чертежей помогают проверять обоснованность математических выводов.
Сотрудничество в парной работе поддерживает уважительное обсуждение разных способов решения.
|
Ход урока
| Этап урока/ Время | Действия педагога | Действия ученика | Оценивание | Ресурсы |
|---|---|---|---|---|
| Организационный момент 2 мин |
Организационный момент:
Приветствует класс, проверяет готовность к уроку и наличие учебных принадлежностей.
Обозначает тему урока и настраивает учащихся на работу с пространственными чертежами.
|
Учащиеся приветствуют учителя, готовят тетради и чертёжные принадлежности, записывают тему урока. | Готовность к работе — 1 балл. Максимум за этап — 1 балл. | доска, тетради, линейки |
| Постановка учебной проблемы 5 мин |
Постановка проблемы:
Показывает чертёж плоскости α, наклонной AB к этой плоскости и её проекции HB, где AH перпендикулярна α.
Спрашивает: «Если прямая l лежит в плоскости α и перпендикулярна проекции HB, будет ли она перпендикулярна наклонной AB? Как это обосновать?».
Ответы:
Ожидаемый ответ: да, прямая l перпендикулярна наклонной AB; для обоснования нужно установить связь между перпендикулярностью к проекции и к наклонной.
|
Учащиеся рассматривают чертёж и предлагают предположения. Учащиеся отвечают, что прямая, перпендикулярная проекции наклонной, может быть перпендикулярна и самой наклонной; учащиеся формулируют необходимость доказательства. | Сформулировано предположение о перпендикулярности — 1 балл; приведена идея обоснования через проекцию — 1 балл. Максимум за этап — 2 балла. | чертёж на доске, линейки |
| Изучение теоремы 10 мин |
Объяснение нового материала:
Формулирует теорему: прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.
Разбирает чертёж: AH ⟂ α, AB — наклонная, HB — её проекция, l ⊂ α и l ⟂ HB; заключение — l ⟂ AB.
Формулирует обратную теорему: если прямая в плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.
Показывает на презентации последовательность элементов чертежа и доказательства, связывая пространственный рисунок с формулировками теорем.
Слайд 1 — Теорема о трёх перпендикулярах
Слайд 2 — Вода в стакане остаётся горизонтальной, хотя сам стакан можно наклонить; линии в простран…
Слайд 3 — Цели
Слайд 4 — Наклонная и проекция
Слайд 5 — Прямая теорема
Слайд 6 — Почему для заключения о перпендикулярности $l$ и $AB$ недостаточно знать только $AH
Слайд 7 — Обратная теорема
Слайд 8 — Проверка на примере
Слайд 9 — Главное
Слайд 10 — Вспомните и примените
|
Учащиеся записывают формулировки прямой и обратной теорем, обозначения на чертеже и условие AH ⟂ α, l ⟂ HB. Учащиеся следят за объяснением по презентации и задают уточняющие вопросы. | Верно записана прямая теорема — 1 балл; верно записана обратная теорема — 1 балл; правильно определены наклонная и её проекция — 1 балл. Максимум за этап — 3 балла. | |
| Проверка понимания 6 мин |
Вопросы классу:
«Какие три прямые или отрезка связывает теорема о трёх перпендикулярах?».
«Какое условие должно выполняться для прямой в плоскости, чтобы применить теорему к наклонной?».
«Чем отличается условие обратной теоремы?».
Ответы:
Наклонная, её проекция на плоскость и прямая в этой плоскости.
Прямая в плоскости должна быть перпендикулярна проекции наклонной.
В обратной теореме прямая в плоскости перпендикулярна самой наклонной и потому перпендикулярна её проекции.
|
Учащиеся отвечают на вопросы, называют наклонную, её проекцию и прямую в плоскости; формулируют условия прямой и обратной теорем. | Правильно названы три элемента — 1 балл; указано условие прямой теоремы — 1 балл; объяснено условие обратной теоремы — 1 балл. Максимум за этап — 3 балла. | учебник, чертёж на доске |
| Игра на применение 6 мин |
Инструктаж:
Раздаёт карточки с тремя схемами: в первой l ⊂ α и l ⟂ HB; во второй l ⊂ α и l ⟂ AB; в третьей l ⊂ α, но ни одно условие перпендикулярности не задано.
Предлагает в парах определить, где применима прямая теорема, где обратная, а где данных недостаточно, и обосновать ответы.
Организует краткую проверку решений и просит назвать использованное условие.
|
Учащиеся в парах классифицируют схемы: первая — прямая теорема, вторая — обратная теорема, третья — данных недостаточно. Учащиеся обосновывают выбор условиями перпендикулярности. | Верно классифицированы три схемы — по 1 баллу за каждую. Максимум за этап — 3 балла. | |
| Самостоятельное решение 8 мин |
Решение задачи:
Предлагает задачу: «Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. Отрезок HB — проекция наклонной AB. Прямая l лежит в α и перпендикулярна HB. Докажите, что l перпендикулярна AB».
Просит записать данные, требуемое доказать и обоснование применения теоремы; напоминает проверить, что l лежит в α.
После индивидуальной работы предлагает сверить ход доказательства с соседом.
|
Учащиеся самостоятельно записывают условие и доказывают, что l ⟂ AB, поскольку l лежит в α и перпендикулярна проекции HB наклонной AB. Учащиеся сверяют полноту обоснования в паре. | Записаны данные и требуемое доказать — 1 балл; указано условие l ⟂ HB и l ⊂ α — 1 балл; сделан верный вывод l ⟂ AB со ссылкой на теорему — 1 балл. Максимум за этап — 3 балла. | |
| Короткая проверочная работа 5 мин |
Инструктаж:
Предлагает выполнить проверочную работу из двух пунктов: сформулировать теорему о трёх перпендикулярах и определить, какой вывод следует из условий l ⊂ α, l ⟂ HB, где HB — проекция наклонной AB.
Просит сдать ответы по завершении отведённого времени.
|
Учащиеся индивидуально записывают формулировку теоремы и выводят из условий, что l ⟂ AB. | Точно сформулирована теорема — 1 балл; сделан правильный вывод l ⟂ AB с указанием основания — 1 балл. Максимум за этап — 2 балла. |
Здоровье и соблюдение техники безопасности
| Здоровье и соблюдение техники безопасности | При работе с линейками и чертёжными принадлежностями следует аккуратно обращаться с острыми краями и не размахивать ими. Во время парной работы необходимо соблюдать порядок на рабочем месте и не мешать одноклассникам. |
О материале
- Тип материала
- План урока (КСП)
- Предмет
- Математика
- Класс
- 10 класс
- Язык
- Русский
- Направление обучения
- Физмат
Создайте свой план урока с ИИ
- По вашей теме, предмету и классу
- Готово примерно за минуту
- Начать можно бесплатно
