English

Теорема о трёх перпендикулярах — Lesson Plan, Mathematics, Grade 10

Create your own lesson plan with AI

Preview Open material
Lesson plan
Section
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
Lesson title
Теорема о трёх перпендикулярах
Class
10
Lesson objectives according to program
Знать теорему о трёх перпендикулярах и применять её при решении задач.
Lesson objectives
Учащийся знает формулировку теоремы о трёх перпендикулярах и её обратной теоремы.
Учащийся понимает связь между наклонной, её проекцией на плоскость и прямой, лежащей в этой плоскости.
Учащийся применяет теорему о трёх перпендикулярах при решении геометрических задач.
Values
Точность и ответственность при построении пространственных чертежей помогают проверять обоснованность математических выводов.
Сотрудничество в парной работе поддерживает уважительное обсуждение разных способов решения.
Lesson progress
Lesson stage/time Teacher's action Student's action Evaluation Resources
Организационный момент
2 мин
Организационный момент:
Приветствует класс, проверяет готовность к уроку и наличие учебных принадлежностей.
Обозначает тему урока и настраивает учащихся на работу с пространственными чертежами.
 Учащиеся приветствуют учителя, готовят тетради и чертёжные принадлежности, записывают тему урока. Готовность к работе — 1 балл. Максимум за этап — 1 балл. доска, тетради, линейки
Постановка учебной проблемы
5 мин
Постановка проблемы:
Показывает чертёж плоскости α, наклонной AB к этой плоскости и её проекции HB, где AH перпендикулярна α.
Спрашивает: «Если прямая l лежит в плоскости α и перпендикулярна проекции HB, будет ли она перпендикулярна наклонной AB? Как это обосновать?».
Ответы:
Ожидаемый ответ: да, прямая l перпендикулярна наклонной AB; для обоснования нужно установить связь между перпендикулярностью к проекции и к наклонной.
 Учащиеся рассматривают чертёж и предлагают предположения. Учащиеся отвечают, что прямая, перпендикулярная проекции наклонной, может быть перпендикулярна и самой наклонной; учащиеся формулируют необходимость доказательства. Сформулировано предположение о перпендикулярности — 1 балл; приведена идея обоснования через проекцию — 1 балл. Максимум за этап — 2 балла. чертёж на доске, линейки
Изучение теоремы
10 мин
Объяснение нового материала:
Формулирует теорему: прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.
Разбирает чертёж: AH ⟂ α, AB — наклонная, HB — её проекция, l ⊂ α и l ⟂ HB; заключение — l ⟂ AB.
Формулирует обратную теорему: если прямая в плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.
Показывает на презентации последовательность элементов чертежа и доказательства, связывая пространственный рисунок с формулировками теорем.
Slide 1 — Теорема о трёх перпендикулярах
Slide 2 — Вода в стакане остаётся горизонтальной, хотя сам стакан можно наклонить; линии в простран…
Slide 3 — Цели
Slide 4 — Наклонная и проекция
Slide 5 — Прямая теорема
Slide 6 — Почему для заключения о перпендикулярности $l$ и $AB$ недостаточно знать только $AH
Slide 7 — Обратная теорема
Slide 8 — Проверка на примере
Slide 9 — Главное
Slide 10 — Вспомните и примените
Учащиеся записывают формулировки прямой и обратной теорем, обозначения на чертеже и условие AH ⟂ α, l ⟂ HB. Учащиеся следят за объяснением по презентации и задают уточняющие вопросы. Верно записана прямая теорема — 1 балл; верно записана обратная теорема — 1 балл; правильно определены наклонная и её проекция — 1 балл. Максимум за этап — 3 балла.
Проверка понимания
6 мин
Вопросы классу:
«Какие три прямые или отрезка связывает теорема о трёх перпендикулярах?».
«Какое условие должно выполняться для прямой в плоскости, чтобы применить теорему к наклонной?».
«Чем отличается условие обратной теоремы?».
Ответы:
Наклонная, её проекция на плоскость и прямая в этой плоскости.
Прямая в плоскости должна быть перпендикулярна проекции наклонной.
В обратной теореме прямая в плоскости перпендикулярна самой наклонной и потому перпендикулярна её проекции.
 Учащиеся отвечают на вопросы, называют наклонную, её проекцию и прямую в плоскости; формулируют условия прямой и обратной теорем. Правильно названы три элемента — 1 балл; указано условие прямой теоремы — 1 балл; объяснено условие обратной теоремы — 1 балл. Максимум за этап — 3 балла. учебник, чертёж на доске
Игра на применение
6 мин
Инструктаж:
Раздаёт карточки с тремя схемами: в первой l ⊂ α и l ⟂ HB; во второй l ⊂ α и l ⟂ AB; в третьей l ⊂ α, но ни одно условие перпендикулярности не задано.
Предлагает в парах определить, где применима прямая теорема, где обратная, а где данных недостаточно, и обосновать ответы.
Организует краткую проверку решений и просит назвать использованное условие.
 Учащиеся в парах классифицируют схемы: первая — прямая теорема, вторая — обратная теорема, третья — данных недостаточно. Учащиеся обосновывают выбор условиями перпендикулярности. Верно классифицированы три схемы — по 1 баллу за каждую. Максимум за этап — 3 балла.
Самостоятельное решение
8 мин
Решение задачи:
Предлагает задачу: «Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. Отрезок HB — проекция наклонной AB. Прямая l лежит в α и перпендикулярна HB. Докажите, что l перпендикулярна AB».
Просит записать данные, требуемое доказать и обоснование применения теоремы; напоминает проверить, что l лежит в α.
После индивидуальной работы предлагает сверить ход доказательства с соседом.
 Учащиеся самостоятельно записывают условие и доказывают, что l ⟂ AB, поскольку l лежит в α и перпендикулярна проекции HB наклонной AB. Учащиеся сверяют полноту обоснования в паре. Записаны данные и требуемое доказать — 1 балл; указано условие l ⟂ HB и l ⊂ α — 1 балл; сделан верный вывод l ⟂ AB со ссылкой на теорему — 1 балл. Максимум за этап — 3 балла.
Короткая проверочная работа
5 мин
Инструктаж:
Предлагает выполнить проверочную работу из двух пунктов: сформулировать теорему о трёх перпендикулярах и определить, какой вывод следует из условий l ⊂ α, l ⟂ HB, где HB — проекция наклонной AB.
Просит сдать ответы по завершении отведённого времени.
 Учащиеся индивидуально записывают формулировку теоремы и выводят из условий, что l ⟂ AB. Точно сформулирована теорема — 1 балл; сделан правильный вывод l ⟂ AB с указанием основания — 1 балл. Максимум за этап — 2 балла.
Health and safety compliance
Health and safety compliance При работе с линейками и чертёжными принадлежностями следует аккуратно обращаться с острыми краями и не размахивать ими. Во время парной работы необходимо соблюдать порядок на рабочем месте и не мешать одноклассникам.

Material details

Material type
Lesson Plan
Subject
Mathematics
Grade
Grade 10
Language
Russian
Education direction
Phys-math

Create your own lesson plan with AI

  • Built from your topic, subject and grade
  • Ready in about a minute
  • Free to start

Similar materials

Lesson plans, tests and presentations made by teachers

Sign up to open this lesson plan in full and create your own with AI in minutes.

Sign in