English

Корень n-й степени и его свойства — Lesson Plan, Algebra and Elements of Analysis, Grade 11

Create your own lesson plan with AI

Preview Open material
Lesson plan
Section
Степени и корни
Lesson title
Корень n-й степени и его свойства
Class
11
Lesson objectives according to program
11.2.1.1 Знать определение корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени
Lesson objectives
Учащийся знает определение корня n-й степени и связывает его с решением уравнения xⁿ = a.
Учащийся знает определение арифметического корня n-й степени и различает его с корнем n-й степени при чётном и нечётном n.
Учащийся знает основные свойства корня n-й степени и условия их применения.
Values
Точность математических рассуждений: учащиеся обосновывают выбор корня и проверяют условия применимости свойств. Ответственное отношение к учебной работе проявляется в аккуратной записи преобразований и проверке результата.
Lesson progress
Lesson stage/time Teacher's action Student's action Evaluation Resources
Организационный момент
2 мин
Организационный момент:
Приветствует класс, проверяет готовность к уроку и наличие тетрадей, учебников и письменных принадлежностей.
Настраивает учащихся на работу и объявляет тему урока.
 Учащиеся готовят учебные принадлежности и записывают тему урока. Готовность к работе: 1 балл. Максимум за этап — 1 балл. учебник, тетради, доска
Актуализация знаний
6 мин
Вопросы классу:
Что означает запись aⁿ?
Какое число называют решением уравнения x² = 25?
Как связаны возведение в степень и извлечение корня?
Ответы:
aⁿ — произведение n одинаковых множителей a.
Решения — 5 и −5.
Извлечение корня является обратным действием к возведению в степень с учётом области определения и чётности показателя.
 Учащиеся отвечают: aⁿ — произведение одинаковых множителей; уравнение x² = 25 имеет корни 5 и −5; извлечение корня связано с возведением в степень. Учащиеся записывают необходимые определения из предыдущей темы. Верно объясняет запись степени — 1 балл; называет оба корня уравнения x² = 25 — 1 балл; описывает связь обратных действий — 1 балл. Максимум за этап — 3 балла. учебник, доска, тетради
Постановка проблемы
5 мин
Постановка проблемы:
Записывает на доске уравнения x³ = 8 и x⁴ = 16 и предлагает определить, какое число является решением каждого уравнения.
Спрашивает: «Почему уравнение x⁴ = 16 имеет два действительных корня, а обозначение арифметического корня указывает только на неотрицательное число? Как единообразно обозначить решение уравнения xⁿ = a?».
Подводит класс к необходимости определить корень n-й степени и арифметический корень n-й степени.
 Учащиеся находят решения: x³ = 8 имеет корень 2, а x⁴ = 16 имеет корни 2 и −2; обсуждают, почему нужно различать корень уравнения и арифметический корень. Правильно определяет решение x³ = 8 — 1 балл; называет оба решения x⁴ = 16 — 1 балл; формулирует необходимость различать виды корня — 1 балл. Максимум за этап — 3 балла. доска, учебник, тетради
Объяснение материала
10 мин
Объяснение нового материала:
Вводит определение: число b называется корнем n-й степени из числа a, если bⁿ = a; записывает b = ⁿ√a.
Объясняет, что при нечётном n корень n-й степени определён для любого действительного a и имеет тот же знак, что и a.
Объясняет, что при чётном n действительный корень существует только при a ≥ 0; арифметическим корнем n-й степени из a называют неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
Разбирает примеры: ³√(−8) = −2; ⁴√16 = 2, тогда как уравнение x⁴ = 16 имеет решения 2 и −2.
Формулирует свойства: ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b и ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b при допустимых знач…
Slide 1 — Корень n-й степени
Slide 2 — Для уравнения x⁴ = 16 подходят два числа: 2 и −2, хотя в записи с корнем обычно указывают…
Slide 3 — К концу занятия вы сможете…
Slide 4 — Корень как решение
Slide 5 — Чётный показатель
Slide 6 — Почему при x⁴ = 16 допустимы и 2, и −2, а запись ⁴√16 выбирает только 2? Какое толкование…
Slide 7 — Произведение и частное
Slide 8 — Степени под корнем
Slide 9 — Итог
Slide 10 — Проверьте себя
Учащиеся записывают определения и свойства, приводят примеры, объясняют различие между корнем уравнения x⁴ = 16 и арифметическим корнем ⁴√16. Учащиеся отвечают, что ⁴√16 = 2, а корни уравнения — 2 и −2. Верно записывает определение корня n-й степени — 1 балл; различает корень и арифметический корень при чётном показателе — 2 балла; правильно формулирует свойства и условия их применения — 2 балла. Максимум за этап — 5 баллов.
Первичное закрепление
8 мин
Вопросы классу:
Вычислите ³√(−27) и ⁴√81.
Упростите ⁵√(2⁵) и ⁴√(3⁴).
Верно ли равенство ⁴√(−16) = −2? Объясните ответ.
Ответы:
³√(−27) = −3; ⁴√81 = 3.
⁵√(2⁵) = 2; ⁴√(3⁴) = 3 = 3.
Нет, равенство неверно: действительный корень чётной степени из отрицательного числа не определён.
 Учащиеся решают задания в тетрадях и объясняют ответы: −3 и 3; 2 и 3; корень четвёртой степени из −16 в действительных числах не существует. Правильно вычисляет оба корня в первом задании — 2 балла; упрощает оба выражения во втором — 2 балла; обосновывает ответ о корне из отрицательного числа — 1 балл. Максимум за этап — 5 баллов. доска, учебник, тетради
Самостоятельная работа
9 мин
Инструктаж:
Раздаёт задание: а) вычислить ⁶√64 и ³√(−125); б) упростить ⁴√(5⁴) и ⁵√(−2)⁵; в) проверить равенство ³√(8·27) = ³√8 · ³√27 и объяснить, при каких условиях применяется свойство произведения.
Просит записывать ход решения и проверять область определения.
После выполнения предлагает учащимся сверить решения по образцу на доске.
 Учащиеся самостоятельно выполняют задания и записывают обоснования. Ожидаемые ответы: ⁶√64 = 2; ³√(−125) = −5; ⁴√(5⁴) = 5; ⁵√(−2)⁵ = −2; обе части равенства равны 6, свойство применяется при допустимых подкоренных выражениях. Вычисляет два корня в пункте а — по 1 баллу, всего 2; верно упрощает два выражения в пункте б — по 1 баллу, всего 2; проверяет равенство и указывает условие применения свойства — 2 балла. Максимум за этап — 6 баллов.
Итоги урока
3 мин
Подведение итогов:
Просит сформулировать, чем корень n-й степени отличается от арифметического корня n-й степени.
Повторно акцентирует условия существования действительного корня при чётном и нечётном показателе.
Предлагает оценить, насколько уверенно учащиеся применяют определения и свойства.
 Учащиеся формулируют различие: арифметический корень чётной степени неотрицателен, а уравнение с чётной степенью может иметь два противоположных корня. Учащиеся называют условие существования действительного корня. Верно формулирует различие понятий — 1 балл; указывает условие существования корня для чётного и нечётного показателя — 1 балл. Максимум за этап — 2 балла. доска, тетради
Health and safety compliance
Health and safety compliance Соблюдать порядок на рабочем месте, аккуратно пользоваться письменными принадлежностями и не оставлять учебные материалы на проходах. При работе у доски двигаться спокойно и не мешать одноклассникам.

Material details

Material type
Lesson Plan
Subject
Algebra and Elements of Analysis
Grade
Grade 11
Language
Russian
Education direction
Phys-math

Create your own lesson plan with AI

  • Built from your topic, subject and grade
  • Ready in about a minute
  • Free to start

Similar materials

Lesson plans, tests and presentations made by teachers

Sign up to open this lesson plan in full and create your own with AI in minutes.

Sign in